Компьютерные уроки для начинающих
  • Главная
  • Одноклассники
  • Во сколько раз период обращения искусственного спутника, совершающего движение. "фотометрия исз" Скорость обращения спутника вокруг земли а

Во сколько раз период обращения искусственного спутника, совершающего движение. "фотометрия исз" Скорость обращения спутника вокруг земли а

Для определения двух характерных «космических» скоростей, связанных с размерами и полем тяготения некоторой планеты. Планету будем считать одним шаром.

Рис. 5.8. Различные траектории движения спутников вокруг Земли

Первой космической скоростью называют такую горизонтально направленную минимальную скорость, при которой тело могло бы двигаться вокруг Земли по круговой орбите, то есть превратиться в искусственный спутник Земли.

Это, конечно идеализация, во-первых планета не шар, во-вторых, если у планеты есть достаточно плотная атмосфера, то такой спутник - даже если его удастся запустить - очень быстро сгорит. Другое дело, что, скажем спутник Земли, летающий в ионосфере на средней высоте над поверхностью в 200 км имеет радиус орбиты отличающийся от среднего радиуса Земли всего, примерно, на 3 %.

На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом (рис. 5.9), действует сила притяжения Земли, сообщающая ему нормальное ускорение

Рис. 5.9. Движение искусственного спутника Земли по круговой орбите

По второму закону Ньютона имеем

Если спутник движется недалеко от поверхности Земли, то

Поэтому для на Земле получаем

Видно,что действительно определяется параметрами планеты:её радиусом и массой.

Период обращения спутника вокруг Земли равен

где - радиус орбиты спутника, а - его орбитальная скорость.

Минимальное значение периода обращения достигается при движении по орбите, радиус которой равен радиусу планеты:

так что первую космическую скорость можно определить и так: скорость спутника на круговой орбите с минимальным периодом обращения вокруг планеты.

Период обращения растет с увеличением радиуса орбиты.

Если период обращения спутника равен периоду обращения Земли вокруг своей оси и их направления вращения совпадают, а орбита расположена в экваториальной плоскости, то такой спутник называется геостационарным .

Геостационарный спутник постоянно висит над одной и той же точкой поверхности Земли (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Движение геостационарного спутника

Для того чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения, то есть могло удалиться на такое расстояние, где притяжение к Земле перестает играть существенную роль, необходима вторая космическая скорость (рис. 5.11).

Второй космической скоростью называют наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической, то есть чтобы тело могло превратиться в спутник Солнца.

Рис. 5.11. Вторая космическая скорость

Для того чтобы тело (при отсутствии сопротивления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы кинетическая энергия тела на поверхности планеты была равна (или превосходила) работу, совершаемую против сил земного притяжения. Напишем закон сохранения механической энергии Е такого тела. На поверхности планеты, конкретно - Земли

Скорость получится минимальной,если на бесконечном удалении от планеты тело будет покоиться

Приравнивая эти два выражения,получаем

откуда для второй космической скорости имеем

Для сообщения запускаемому объекту необходимой скорости (первой или второй космической) выгодно использовать линейную скорость вращения Земли, то есть запускать его как можно ближе к экватору, где эта скорость составляет, как мы видели, 463 м/с (точнее 465,10 м/с). При этом направление запуска должно совпадать с направлением вращения Земли - с запада на восток. Легко подсчитать, что таким способом можно выиграть несколько процентов в энергетических затратах.

В зависимости от начальной скорости , сообщаемой телу в точке бросания А на поверхности Земли, возможны следующие виды движения (рис. 5.8 и 5.12):

Рис. 5.12. Формы траектории частицы в зависимости от скорости бросания

Совершенно аналогично рассчитывается движение в гравитационном поле любого другого космического тела,например, Солнца. Чтобы преодолеть силу притяжения светила и покинуть Солнечную систему,объекту,покоящемусю относительно Солнца и находящемуся от него на расстоянии, равном радиусу земной орбиты (см. выше), необходимо сообщить минимальную скорость , определяемую из равенства

где , напомним, это радиус земной орбиты, а - масса Солнца.

Отсюда следует формула, аналогичная выражению для второй космической скорости, где надо заменить массу Земли на массу Солнца и радиус Земли на радиус земной орбиты:

Подчеркнем, что - это минимальная скорость, которую надо придать неподвижному телу, находящемуся на земной орбите, чтобы оно преодолело притяжение Солнца.

Отметим также связь

с орбитальной скоростью Земли . Эта связь, как и должно быть - Земля спутник Солнца, такая же, как и между первой и второй космическими скоростями и .

На практике мы запускаем ракету с Земли, так что она заведомо участвует в орбитальном движении вокруг Солнца. Как было показано выше, Земля движется вокруг Солнца с линейной скоростью

Ракету целесообразно запускать в направлении движения Земли вокруг Солнца.

Скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью .

Скорость зависит от того, в каком направлении космический корабль выходит из зоны действия земного притяжения. При оптимальном запуске эта скорость составляет приблизительно = 6,6 км/с.

Понять происхождение этого числа можно также из энергетических соображений. Казалось бы, достаточно ракете сообщить относительно Земли скорость

в направлении движения Земли вокруг Солнца, и она покинет пределы Солнечной системы. Но это было бы правильно, если бы Земля не имела собственного поля тяготения. Такую скорость тело должно иметь, уже удалившись из сферы земного притяжения. Поэтому подсчет третьей космической скорости очень похож на вычисление второй космической скорости, но с дополнительным условием - тело на большом расстоянии от Земли должно все еще иметь скорость :

В этом уравнении мы можем выразить потенциальную энергию тела на поверхности Земли (второе слагаемое в левой части уравнения) через вторую космическую скорость в соответствии с полученной ранее формулой для второй космической скорости

Отсюда находим

Дополнительная информация

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. - стр. 325–332 (§61, 62): выведены формулы для всех космических скоростей (включая третью), решены задачи о движении космических аппаратов, законы Кеплера выведены из закона всемирного тяготения.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1986/04/polet_k_solncu.html - Журнал «Квант» - полет космического аппарата к Солнцу (А. Бялко).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1981/12/zvezdnaya_dinamika.html - журнал «Квант» - звездная динамика (А.Чернин).

http://www.plib.ru/library/book/17005.html - Стрелков С.П. Механика Изд. Наука 1971 г. - стр. 138–143 (§§ 40, 41): вязкое трение, закон Ньютона.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1997/06/kv0697sambelashvili.pdf - журнал «Квант» - гравитационная машина (А. Самбелашвили).

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/""Bibliotechka_""Kvant""/_""Bibliotechka_""Kvant"".html#029 - А.В. Бялко «Наша планета - Земля». Наука 1983 г., гл. 1, пункт 3, стр. 23–26 - приводится схема положения солнечной системы в нашей галактике, направления и скорости движения Солнца и Галактики относительно реликтового излучения.

Во сколько раз период обращения искусственного спутника, совершающего движение по круговой орбите на высоте, равной радиусу Земли, превышает период обращения спутника на околоземной орбите?

Задача №2.5.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(h=R\), \(\frac{T_2}{T_1}-?\)

Решение задачи:

Найдем период обращения \(T_2\) спутника, движущегося по круговой орбите на высоте \(h=R\). Понятно, что сила всемирного тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому второй закон Ньютона запишется в следующем виде:

\[{F_{т2}} = m{a_{ц2}}\;\;\;\;(1)\]

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

\[{F_{т2}} = G\frac{{Mm}}{{{{\left({R + h} \right)}^2}}}\;\;\;\;(2)\]

Чтобы в нашей формуле фигурировал период обращения, нужно выразить через него центростремительное ускорение \(a_{ц2}\). Для этого запишем формулу определения ускорения \(a_{ц2}\) через угловую скорость и формулу связи последней с периодом.

\[{a_{ц2}} = {\omega ^2}\left({R + h} \right)\]

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T_2}\]

\[{a_{ц2}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{T_2^2}\left({R + h} \right)\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражения (2) и (3) в равенство (1):

Проведем аналогию для спутника, движущегося по околоземной орбите. Понятно, что его период обращения будет равен:

\[{T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}}\]

Теперь подставим в формулу определения периода \(T_2\) (в формулу (4)) условие \(h=R\):

\[{T_2} = 2\pi \sqrt {\frac{{{{\left({R + R} \right)}^3}}}{{GM}}} = 2\pi \sqrt {\frac{{8{R^3}}}{{GM}}} \]

Искомое отношение равно:

\[\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 = 2,83\]

Ответ: в 2,83 раза.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Страница 1 из 2

171. Определить период обращения вокруг Солнца искусственной планеты, если известно, что большая полуось ее эллиптической орбиты больше на 10 7 км большой полуоси земной орбиты.

172. Период обращения кометы Галлея вокруг Солнце T = 76 лет. Минимальное расстояние, на котором она проходит от Солнца составляет 180 Гм. Определить максимальное расстояние, на которое комета Галлея удаляется от Солнца. Радиус орбиты Земли принять равным R 0 = 150 Гм.

173. Считая орбиту Земли круговой, определить линейную скорость v движения Земли вокруг Солнца.

174. Период обращения искусственного спутника Земли составляет 3 ч. Считая его орбиту круглой, определить, на какой высоте от поверхности Земли находится спутник.

175. Планета массой М движется по окружности вокруг Солнца со скоростью v (относительно гелиоцентрической системы отсчета). Определить период обращения этой планеты вокруг Солнца.

176. Определите, во сколько раз сила притяжения на Земле больше силы притяжения на Марсе, если радиус Марса составляет 0,53 радиуса Земли, а масса Марса - 0,11 массы Земли.

177. Определить среднюю плотность Земли, считая известными гравитационную постоянную, радиус Земли и ускорение свободного падения на Земле.

178. Две материальные точки массами m 1 и m 2 расположены друг от друга на расстоянии R. Определить угловую скорость вращения, с которой они должны вращаться вокруг общего центра масс, чтобы расстояние между ними осталось постоянным.

179. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала, соприкасаясь друг с другом, притягиваются. Определить, как изменится сила притяжения, если массу шаров увеличить в n = 3 раза за счет увеличения их размеров.

180. Определите высоту, на которой ускорение свободного падения составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности Земли.

181. Считая плотность Земли постоянной, определите глубину, на которой ускорение свободного падения составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности Земли.

182. На какой высоте h ускорение свободного падения вдвое меньше его значения на поверхности Земли.

183. Стационарным искусственным спутником Земли называется спутник, находящийся постоянно над оной и той же точкой экватора. Определить расстояние такого спутник до центра Земли.

184. На экваторе некоторой планеты (плотность планеты ρ = 3 г/см 3) тела весят в два раза меньше, чем на полюсе. Определить период обращения планеты вокруг собственной оси.

185. Принимая, что радиус Земли известен, определить, на какой высоте h над поверхностью Земли напряженность поля тяготения равна 4,9 Н/кг.

186. Определить, в какой точке (считая от Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, напряженность поля тяготения равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно R, масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

187. Имеется тонкий однородный стержень массой m и длиной l. Для точки, находящейся на одной прямой со стержнем на расстоянии a от его ближайшего конца, определить: 1) потенциал гравитационного поля стержня; 2) напряженность его гравитационного поля.

188. Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу m. Определить в точке A, расположенной на оси диска на расстоянии h от него: 1) потенциал гравитационного поля; 2) напряженность гравитационного поля.Вперёд

2.2.2. Движение под действием силы тяжести (спутники)

При движении спутников (с выключенным двигателем) по круговой орбите на них действует только одна сила - сила притяжения спутника к планете.

На спутник, имеющий массу m и движущийся по круговой орбите на высоте h над поверхностью планеты (рис. 2.2), действует только сила тяжести.

Рис. 2.2

Эта сила направлена к центру планеты и сообщает спутнику центростремительное ускорение. В этом случае справедливо соотношение

G m M r 2 = m v 2 r ,

позволяющее получить формулу для расчета первой космической скорости спутника:

где G = 6,67 ⋅ 10 −11 Н ⋅ м 2 /кг 2 - универсальная гравитационная постоянная; m - масса тела; r = R + h - радиус орбиты; R - радиус планеты; h - высота спутника над поверхностью планеты.

Различают первую, вторую и третью космические скорости. Для планеты Земля:

  • первая космическая скорость - минимальная скорость, сообщенная спутнику вблизи поверхности Земли, при которой он может выйти на круговую орбиту и начать вращение вокруг Земли на околоземной орбите (h ≈ 0),

v 1 ≈ 7,9 км/с;

  • вторая космическая скорость - минимальная скорость, сообщенная спутнику вблизи поверхности Земли, при которой он может удалиться от Земли на большое расстояние и стать спутником Солнца,

v 2 ≈ 11,2 км/с;

  • третья космическая скорость - минимальная скорость, сообщенная спутнику вблизи поверхности Земли, при которой он может покинуть Солнечную систему; ее значение приблизительно равно 16,6 км/с.

Когда говорят о первой космической скорости для планеты , то подразумевают, что спутник движется на высоте h ≈ 0, т.е. радиус орбиты спутника r совпадает с радиусом планеты R :

r = R .

Период обращения спутника вокруг планеты (время одного оборота) можно определить как отношение длины орбиты к первой космической скорости:

где L = 2πr - длина орбиты радиусом r (длина окружности); v - первая космическая скорость спутника на этой орбите.

Пример 5. Во сколько раз период обращения искусственного спутника, совершающего движение по круговой орбите на высоте, равной удвоенному радиусу Земли, превышает период обращения спутника, вращающегося на околоземной орбите?

Решение. Период обращения спутника, совершающего движение по круговой орбите на высоте h 1 = 2R , определяется формулой

T 1 = 2 π (R + h 1) v 1 ,

где R - радиус Земли; v 1 - первая космическая скорость спутника на высоте h 1 .

Период обращения спутника, совершающего движение на околоземной орбите (h 2 ≈ 0), определяется формулой

T 2 = 2 π (R + h 2) v 2 ,

где v 2 - первая космическая скорость спутника на околоземной орбите.

Подстановка значений h 1 = 2R и h 2 = 0в формулы для вычисления соответствующих периодов дает:

T 1 = 6 π R v 1 и T 2 = 2 π R v 2 .

Отношение периодов

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1

выражается через отношение первых космических скоростей спутника на соответствующих орбитах.

Первые космические скорости определяются следующими формулами:

  • для высоты h 1 = 2R

v 1 = G M R + h 1 = G M R + 2 R = G M 3 R ;

  • для высоты h 2 ≈ 0 (околоземная орбита)

v 2 = G M R + h 2 = G M R + 0 = G M R ,

где G = 6,67 ⋅ 10 −11 Н · м 2 /кг 2 - универсальная гравитационная постоянная; M - масса Земли.

Подставляя v 1 и v 2 в формулу для отношения периодов, получим

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1 = 3 G M R ⋅ 3 R G M = 3 3 ≈ 5,2 .

т.е. период обращения спутника, совершающего движение на высоте, равной двум радиусам, превышает период обращения спутника на околоземной орбите приблизительно в 5,2 раза.

Пример 6. Радиус некоторой планеты в 3 раза больше радиуса Земли, а плотность в 9 раз меньше плотности Земли. Определить отношение первых космических скоростей спутников для Земли и для планеты.

Решение. Сравниваются следующие первые космические скорости:

  • для поверхности Земли

v 1 = G M З R З,

  • для поверхности планеты

где G = 6,67 ⋅ 10 −11 Н · м 2 /кг 2 - универсальная гравитационная постоянная; M З - масса Земли; R З - радиус Земли; M - масса планеты; R - радиус планеты.

Отношение скоростей равно

v 1 v 2 = M З R З R M .

Считая, что Земля и планета имеют шарообразную форму, получим формулы для вычисления соответствующих масс:

  • для Земли

M З = ρ З V З = 4 3 π ρ З R З 3 ,

  • для планеты

M = ρ V = 4 3 π ρ R 3 ,

где ρ З - плотность Земли; ρ - плотность планеты.

Подставим выражения для масс в формулу для отношения скоростей:

v 1 v 2 = 4 3 π ρ З R З 3 R З 3 4 R π ρ R 3 = ρ З R З 2 ρ R 2 = R З R ρ З ρ .

По условию задачи R = 3R З и ρ З = 9ρ; следовательно, искомое отношение скоростей равно

v 1 v 2 = R З 3 R З 9 ρ ρ = 1 ,

т.е. скорости спутника одинаковы для поверхности Земли и для поверхности планеты.

Пример 7. Вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиусом 20 000 км вращается спутник со скоростью 12 км/с. Определить величину ускорения свободного падения на поверхности планеты, если ее радиус равен 12 000 км.

Решение. Ускорение свободного падения на поверхности планеты найдем по формуле

где G = 6,67 ⋅ 10 −11 Н · м 2 /кг 2 - универсальная гравитационная постоянная; M - масса планеты; R - радиус планеты.

Радиус планеты задан в условии задачи, произведение (GM ) можно выразить из формулы для первой космической скорости:

v = G M R + h = G M r ,

где r - радиус орбиты спутника; отсюда искомое произведение

GM = v 2 r .

Подставим (GM ) в выражение для вычисления g 0:

g 0 = v 2 r R 2 .

Расчет позволяет получить значение ускорения свободного падения на поверхности планеты:

g 0 = (12 ⋅ 10 3) 2 ⋅ 2, 0 ⋅ 10 7 (12 ⋅ 10 6) 2 = 20 м/с 2 .

Лучшие статьи по теме