Перед тем, как рассмотреть формальные правила двоичной арифметики подчеркнем общий принцип сложения и вычитания чисел представленных в любой позиционной системы счисления.
В общем случае процедуры сложения и вычитания двух чисел
A B = C в любой позиционной системы счисления начинаются с младших разрядов.
Код суммы каждго i -того разряда с i получается в результате сложения
a i + b i +1, где единица соответствует переносу из младшего (i - 1)-разряда в i -тый, если в младшем разряде код суммы получился больше или равным основанию системы счисления.
Код разности каждого i -того разряда получается в результате вычитания
a i - b i -1, где единица соответствует заему, если он был, в младшие разряды величины, равной основанию системы счисления.
Следовательно, правила и методы сложения и вычитания в любой позиционной системы счисления в принципе остаются такими же, как в десятичной системе.
Теперь рассмотрим правила арифметики с числами, представленными в двоичном коде.
Сложение двух чисел выполняется поразрядно, начиная с младшего разряда. В каждом разряде выполняется сложение двух цифр слагаемых и единицы переноса из соседнего младшего разряда:
1 + 1 = 0 и осуществляется перенос 1 в старший соседний разряд.
Например:
Вычитание также производится поразрядно, начиная с младшего разряда. При вычитании в данном разряде из нуля единицы необходимо занять единицу из соседнего старшего разряда, которая равна двум единицам данного разряда:
0 - 1 =1 после заема единицы из соседнего старшего разряда.
Например:
Суммирование двоичных чисел в компьютерах осуществляется при помощи двоичных сумматоров, а вычитание - двоичных вычитателей. Но как будет показано в дальнейшем, вычитание можно организовать также при помощи процедуры сложения, т.е. при помощи двоичных сумматоров, если вычитаемое представить в "дополнительном" или "обратном" коде и тем самым исключить необходимость в двоичных вычитателях.
Умножение двоичных чисел производится путем образования про-межуточных произведений и последующего их суммирования. Промежуточные поразрядные произведения формируются по следующим правилам:
0 x 0 = 0 101 510 x 310 = 1510
0 x 1 = 0 11
1 x 1 = 1 + 101
Деление чисел в двоичной системе производится по правилам умножения и вычитания.
Например:
110: 11 = 10 610: 310 = 210
Арифметические действия с двоичными числами подробно будут рассмотрены в дальнейшем.
При выполнении любых арифметических действий важное значение имеют такие электронные устройства, как двоичный полусумматор и двоичный сумматор, которые выполняют побитное двоичное сложение по ранее приведенным правилам. Для двоичного вычитания иногда используют и двоичный вычитатель. Приведем условное обозначение двоичных полусумматора и сумматора:
ai HS S ci ai SM S ci
bi P Pi Pi-1 P Pi
Рис.2.1 Условное обозначение полусумматора (а)
и двоичного сумматора (б).
Здесь a i и b i это i -тые разряды чисел А и В, которые складываются, а c i - i -тый разряд суммы этих чисел, Pi - перенос из данного разряда в соседний следующий старший, Pi-1 - перенос из соседнего младшего в данный разряд.
Если для представления двоичных чисел А, В, С и их знаков выделена
n -разрядная сетка, то очевидно, что для организации процедуры сложения необходимо n двоичных сумматоров, которые соединяются между собой по определенной схеме, зависящей от того в каком коде представляются эти двоичные числа: прямой, обратный или дополнительный.
Очевидно, что в арифметических устройствах цифровых автоматов помимо двоичных сумматоров используются также регистры, счетчики, различные триггера и электронные устройства, выполняющие различные логические процедуры. Обычно используемые регистры должны позволять не только параллельно записывать в них двоичные коды чисел, но и сдвигать изображения этих чисел влево и вправо на необходимое число двоичных разрядов.
Простейшую блок-схему узла, выполняющего процедуру сложения
A+B=C можно представить следующим образом:
где Рr - некоторые регистры, в которые записываются двоичные числа А, В и С; СM - сумматор, точнее группа сумматоров n SM, где n - длина разрядной сетки, отведенной для представления чисел А, В и С.
Помимо арифметических операций в цифровых автоматах реализуются также логические операции, которые подробно рассматриваются в последующих главах.
Кроме этих операций в цифровых автоматах, компьютерах, выполняется еще одна операция над двоичными числами - это сдвиг числа по разрядной сетке влево или вправо. В случае сдвига влево фактически осуществляется умножение двоичного числа на 2, а при сдвиге вправо - деление на 2, где - количество разрядов, на которое сдвигается двоичное число. Например: 0000112= 310 сдвинем влево на 2 разряда, получим 0011002 = 1210, т.е.
3х4(22) = 1210, а теперь 0010002 = 810 сдвинем на 2 разряда вправо, получим 0000102 = 210, т.е. 8:4(22) = 210.
В компьютерах часто используется циклический сдвиг, при выполнении которого разрядная сетка, отведенная для операнда, представляется замкнутой в кольцо. Тогда при сдвиге влево содержимое старшего разряда попадает в младший разряд операнда, а при сдвиге вправо - наоборот.
Предыдущих главах я рассказал о том, что такое цифровая техника и как устроена вычислительная система на основе микроконтроллера. Я упразднил большое число деталей и надеюсь, что это помогло тебе ухватить главные идеи позади цифровой техники и сейчас ты можешь хоть и поверхностно, но осознанно представить принципы работы цифровых устройств и микроконтроллера в частности.
Всё это время я говорил о том, что цифровые машины стали возможны благодаря простой идее о том, что любую информацию можно представить в виде последовательности из «0» и «1», т. е. закодировать её двоичным числом. При этом я умышленно умолчал о том, как «0» и «1» представляются внутри цифрового устройства. Для понимания основных идей информации было достаточно.
Но если задаться вопросом что такое на самом деле «0» и «1» в цифровом устройстве, то очевидный ответ будет звучать так:«электричество»! Да, «истина» и «ложь» в электронных устройствах кодируются с помощью напряжения (если ты забыл что это такое, то можешь просто воспринимать его как давление воды в трубе. Аналогия хоть и не точная, но зато понятная). На самом деле мы можем что угодно принять за «истину» или «ложь». Просто выбрать два разных значения и одно из них считать за «истину», а второе за «ложь».
Например, возьмём монету, «орла» будем считать за «1», а решку - за «0». Такая простая идея позволяет строить вычислительные машины из чего угодно. Можно даже построить механический компьютер. Правда он будет жутко медленный, очень дорогой и невероятно огромный, т. е. абсолютно бесполезное устройство.
Но вернёмся к электрическому представлению «0» и «1». Инженеры решили этот вопрос в лоб и просто приняли 0 вольт за «0», а за «1» напряжение большее ~2.5 вольт. Были придуманы простейшие схемы (логические элементы), сначала на электронных лампах и реле, а потом на транзисторах, которые умеют распознавать эти уровни напряжения и выполнять логические функции: И, НЕ, ИЛИ, И-НЕ и т. д. На основе этих схем были построены более сложные элементы: триггеры, счетчики, сумматоры, шифраторы и дешифраторы, мультиплексоры и демультиплексоры, регистры, - из которых в дальнейшем были созданы ещё более сложные устройства такие как АЛУ, ячейки памяти и многие другие необходимые блоки современных цифровых устройств.
Соглашение, когда 0В обозначает «0», а ~2.5В обозначает «1» принято называть положительной логикой. Если же принято наоборот (0В = «1», а 2.5В = «0»), то такое соглашение называют отрицательной логикой. Какой вариант использовать -- выбор разработчика. К тому же сейчас существует множество схем, которые работают и с другими напряжениями. В целом они делятся на два больших семейства: ТТЛ (TTL) и КМОП (CMOS). Существуют также более современные семейства LVTTL, LVCMOS. Не буду сейчас на них подробно останавливаться.
Системы счисления
Система счисления - это практически тоже самое, что алфавит для записи слов, только он служит для записи чисел. Двоичный алфавит состоит из цифр «0» и «1», а десятичный из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9. Восьмиричный из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. С помощью такого «численного алфавита» мы записываем все возможные числа. При этом все современные активно использующиеся системы счисления таковы, что для записи любого числа достаточно только тех цифр, что есть в выбранной системе счисления. При этом количество разных цифр в системе счисления называется её «основанием». Двоичная система имеет основание 2, десятичная -- 10, восьмиричная -- 8, шестандцатиричная -- 16, шестидесятиричная -- 60 и т.д.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В непозиционных число выражается с помощью набора символов, порядок которых не играет никакой роли. К одной из самых известных непозиционных систем относится римская система записи чисел: XXVIII. Согласись, что записывать римскими цифрами большие числа очень трудно. А производить вычисления ещё не удобней.
В позиционных же наоборот порядок следования цифр играет важную роль, так как он определяет значение числа. Положение каждой цифры называется позицией, каждая позиция имеет свой вес. Число в любой системе счисления можно записать с помощью простой формулы:
D = d p-1 b p-1 + d p-2 b p-2 + ... + d 1 b 1 + d 0 b 0 .d -1 b -1 + d -2 b -2 + ... + d -n b -n
С помощью этой формулы можно записать как целое число, так и число дробное. p -- число знаков слева от точки, а n -- после запятой, а b -- это основание системы. Для примера запишем число 22.15:
22.15 = d 2-1 b 2-1 + d 2-2 b 2-2 .d -1 b -1 +d -2 b -2 = 2 1 10 1 + 2 0 10 0 .1 -1 10 -1 +5 -2 10 -2
Одной из древнейших из дошедших до нас позиционых систем счисления является шестидесятиричная. И осталась она нам от Вавилона. Отголоски применения такой системы до сих пор можно встретить при определении времени и углов. В этой системе каждый следующий разряд был на 60 больше предыдущего.
Позиционные системы таковы, что если в результате сложения, полученное число превышает «основание», то мы добавляем новый разряд слева: 5+7 = 12, 11+99 = 110 и т.д. Эти правила сложения тебе известны со времен начальной школы. И они успешно применяются как десятичным, так и к двоичным числам.
Глубже в вопросы систем счисления можно вникнуть по материалам, к примеру, википедии или книг на эту тему. Наша же цель -- это собрать воедино картину мира электроники. Теперь, когда магия систем счисления и представления двоичных чисел в цифровых устройствах развеялась я могу наконец-то перейти к двоичной арифметике и рассказать о ней чуть больше. В частности мы затронем способы представления двоичных чисел в цифровых устройствах, а также затронем типичные арифметические операции, которые применяются для операций с двоичными числами.
Арифметика нулей и единиц
Выполнять арифметические операции достаточно легко, так как у нас всего две цифры и несколько правил:
1 + 0 = 01 0 + 0 = 00 1 + 1 = 10 (+ 1 разряд переноса) = 10 1 * 1 = 01 1 - 1 = 00
При выполнении операций следует всегда учитывать разрядность числа. Если мы складываем двоичные числа на бумаге, то она не играет никакой роли, а вот в реальных устройствах важна. Так как размер, т. е. разрядность чисел, с которыми может работать устройство задаётся на этапе проектирования. Покажу на примере - сложим два числа:
Как видно сумма двух 8-разрядных чисел не всегда равна 8 разрядам. В этом примере мы получили 9! Ниже я показал, что произойдёт, если сложить два 8-разрядных числа в устройстве, которое умеет работать только с 8-разрядными числами, если забыть про перенос в старший разряд.
Мы потеряли самый старший разряд (9-й), который в результате сложения должен был быть равен «1»! Таким образом, реальное цифровое устройство всегда должно уметь учитывать перенос из младшего разряда в старший, иначе некоторые операции сложения всегда будут давать неверный результат.
Кстати, если представить, что число "11111111" -- это максимальное значение некоторого восьми разрядного счетчитка, то добавив к нему единицу мы получим переполнение счетчика и он обнулится.
В простейшем случае, для одноразрядных чисел, правила двоичного сложения имеют вид:
При сложении () возникает два случая:
Многоразрядные числа складываются по тем же правилам, но при этом учитывается входной перенос в каждом разряде: выходной перенос младшего разряда является входным переносом для соседнего старшего разряда. Рассмотрим несколько примеров сложения многоразрядных чисел.
Двоичное вычитание
Здесь рассматриваются правила, работающие в случае вычитания меньшего числа из большего. Все остальные случаи рассматриваются ниже в разделе 3.2, посвященном двоичной арифметике со знаками. В простейшем случае, для каждого разряда, правила двоичного вычитания имеют вид:
Когда производится вычитание () осуществляется займ из более старшего разряда. Знак вопроса означает, что разряд уменьшаемого изменяется в результате займа по правилу:
При вычитании (0 - 1) в разряде разности получается 1, разряды уменьшаемого, начиная со следующего, изменяются на противоположные (инвертируются) до первой встречной единицы (включительно). После этого производится вычитание из измененных разрядов уменьшаемого .
Рассмотрим несколько примеров вычитания многоразрядных чисел (из большего числа вычитается меньшее).
Очевидно, что как в десятичном, так и в двоичном коде, складывать значительно проще, чем вычитать. Поэтому большое распространение получила двоичная арифметика с учетом знаков чисел, где вычитание заменяется сложением чисел с учетом их знака. При этом уже не имеет значения соотношение чисел между собой, какое из них больше - вычитаемое или уменьшаемое. Знак разности получается автоматически.
Двоичная арифметика с учетом знаков чисел
Прямой, обратный и дополнительный коды
В двоичном коде знак числа представляет собой разряд, приписываемый слева от значащих разрядов числа. Знак " " обозначается логическим , знак " " - логической . Для наглядности все примеры будем рассматривать для целых чисел, отделяя знаковый разряд точкой.
Прямой код (ПК) и для отрицательных, и для положительных чисел образуется одинаково, простым дописыванием знакового разряда .
Так, в восьмиразрядном формате
Обратный код (ОК) для положительных чисел совпадает с прямым, т.е. к значащим разрядам приписывается знаковый разряд. Для отрицательных чисел значащие разряды инвертируются (нули заменяются на единицы, единицы - на нули), после чего приписывается знак .
Для того же числа обратный код имеет вид: , .
Недостатком обратного кода является то, что одно и то же число и записывается по-разному: , , что может вызвать нежелательное разночтение работы логической схемы. Поэтому предпочтительным является дополнительный код.
Дополнительный код (ДК) для положительных чисел совпадает с обратным и прямым, т.е. к значащим разрядам приписывается знаковый разряд. Для отрицательных чисел дополнительный код на 1 больше, чем обратный. После образования значащих разрядов приписывается знаковый разряд .
Для значащих разрядов отрицательного числа справедлива формула:
| (11.3) |
Напишем число в 7-разрядном дополнительном коде:
Таким образом в дополнительном коде 
, следовательно, указанный недостаток обратного кода
преодолен.
Рассмотрим образование дополнительного кода для числа 10. Для положительного числа , а для отрицательного числа дополнительный ко д получается следующим образом:
Для замены вычитания сложением применяется и обратный , и дополнительный коды, при этом в каждом из них действуют свои правила.
Двоичная арифметика в дополнительном коде
Для наглядности возьмем два десятичных числа, например, и , и сделаем все возможные варианты вычислений:
- .
- . Сначала получим дополнительный код отрицательного числа :
Здесь важно уяснить, что крайние левые нули в значащих разрядах сокращать нельзя, поскольку они являются значимыми. Иными словами, все вычисления для каждого примера производятся в неизменном формате, в данном случае в примере (б) - это шесть значащих разрядов, т.е. столько, сколько содержится в большем числе.
Вновь получили знак числа и его значащие разряды, занимающие жестко заданные позиции в выбранном формате числа. Поскольку получено отрицательное число, то ДК ПК , для проверки его значащих разрядов нужно сначала вычислить обратный код , затем перевести его в прямой код инверсией -
а затем уже перевести его в десятичный код по (П3-2): .
- - Сначала получим ДК
отрицательного числа .
После этого произведем вычисления.
Число положительное, поэтому ОК=ПК , для проверки числа нужно перевести его значащие разряды в десятичный код по (П3-2): .
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Перевод чисел в двоичную, шестнадцатеричную, десятичную, восьмеричную системы счисления
Умножение двоичных чисел
Формат представления чисел с плавающей запятой
Пример №1
. Представить число 133,54 в форме числа с плавающей точкой.
Решение
. Представим число 133.54 в нормализованном экспоненциальном виде:
1.3354*10 2 = 1.3354*exp 10 2
Число 1.3354*exp 10 2 состоит из двух частей: мантиссы M=1.3354 и экспоненты exp 10 =2
Если мантисса находится в диапазоне 1 ≤ M Представление числа в денормализованном экспоненциальном виде
.
Если мантисса находится в диапазоне 0,1 ≤ M Представим число в денормализованном экспоненциальном виде: 0.13354*exp 10 3
Пример №2
. Представить двоичное число 101.10 2 в нормализованном виде, записать в 32-битом стандарте IEEE754.
Таблица истинности
Вычисление пределов
Арифметика в двоичной системе счисления
Арифметические действия в двоичной системе выполняются так же, как и в десятичной. Но, если в десятичной системе счисления перенос и заём осуществляется по десять единиц, то в двоичной - по две единицы. В таблице представлены правила сложения и вычитания в двоичной системе счисления.- При сложении в двоичной системе системе счисления двух единиц в данном разряде будет 0 и появится перенос единицы в старший разряд.
- При вычитании из нуля единицы производится заём единицы из старшего разряда, где есть 1 . Единица, занятая в этом разряде, даёт две единицы в разряде, где вычисляется действие, а также по единице, во всех промежуточных разрядах.
Сложение чисел с учетом их знаков на машине представляет собой последовательность следующих действий:
- преобразование исходных чисел в указанный код;
- поразрядное сложение кодов;
- анализ полученного результата.
При выполнении операции в дополнительном (модифицированном дополнительном) коде если в результате сложения в знаковом разряде возникает единица переноса, она отбрасывается.
Операция вычитания в ЭВМ выполняется через сложение по правилу: Х-У=Х+(-У). Дальнейшие действия выполняются также как и для операции сложения.
Пример №1
.
Дано: х=0,110001; y= -0,001001, сложить в обратном модифицированном коде.
Дано: х=0,101001; y= -0,001101, сложить в дополнительном модифицированном коде.
Пример №2
. Решить примеры на вычитание двоичных чисел, используя метод дополнения до 1 и циклического переноса.
а) 11 - 10.
Решение
.
Представим числа 11 2 и -10 2 в обратном коде.
Двоичное число 0000011 имеет обратный код 0,0000011
Сложим числа 00000011 и 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
В 2-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 3-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Возник перенос из знакового разряда. Добавим его (т.е. 1) к полученному числу (тем самым осуществляя процедуру циклического переноса).
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Результат сложения: 00000001. Переведем в десятичное представление . Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Результат сложения (в десятичном представлении): 1
б) 111-010
Представим числа 111 2 и -010 2 в обратном коде.
Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.
Двоичное число 0000111 имеет обратный код 0,0000111
Двоичное число 0000010 имеет обратный код 1,1111101
Сложим числа 00000111 и 11111101
В 0-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 1-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
В 1-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 2-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
В 2-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 + 1 = 11). Поэтому записываем 1, а 1 переносим на 3-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
В 3-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 4-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
В 4-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 5-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 5-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 6-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 6-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 7-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 7-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 8-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Возник перенос из знакового разряда. Добавим его (т.е. 1) к полученному числу (тем самым осуществляя процедуру циклического переноса).
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Результат сложения: 00000101
Получили число 00000101. Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Результат сложения (в десятичном представлении): 5
Сложение двоичных вещественных чисел с плавающей запятой
В компьютере любое число может быть представлено в формате с плавающей точкой. Формат с плавающей точкой показан на рисунке:
Например, число 10101 в формате с плавающей точкой можно записать так:
В компьютерах используется нормализованная форма записи числа, в которой положение запятой всегда задается перед значащей цифрой мантиссы, т.е. выполняется условие:
b -1 ≤|M|Нормализованное число - это число, у которого после запятой идет значащая цифра (т.е. 1 в двоичной системе счисления). Пример нормализации:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
При сложении чисел с плавающей точкой выравнивание порядков выполняют в сторону большего порядка:
Алгоритм сложения чисел с плавающей точкой:
- Выравнивание порядков;
- Сложение мантисс в дополнительном модифицированном коде;
- Нормализация результата.
Пример №4
.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Выравнивание порядков;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Сложение мантисс в дополнительном модифицированном коде;
MA доп.мод. =00,01011
MB доп.мод. =00,0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Нормализация результата.
A+B=0,1101*2 10
Пример №3 . Записать десятичное число в двоично-десятичной системе счисления и сложить два числа в двоичной системе счисления.
